第111回 問175】「2倍 → 2倍」になる組合せはどれ？線形1-コンパートメントを式の構造から解く

この記事は、薬学部で長年教えた元大学教授の視点で、国試の問題が解けない理由を読者ごとに異なる階層構造（大学薬学・高校・中学）で捉え直すアプローチです。これまでの解説では届きにくい「自分の現在地を見極めて必要な階層から学び直す」ための実践的ガイドです。

🔍 問題（第111回薬剤師国家試験 問175より）

区分：一般問題（薬学理論問題）／科目：薬剤（薬物動態学）

📚 出典：厚生労働省「第111回薬剤師国家試験問題及び解答（令和8年2月21日、2月22日実施）」

• 問題PDF：1日目③ 一般問題（薬学理論問題）【薬理・薬剤・病態・薬物治療】
• 正答PDF：第111回薬剤師国家試験合格基準及び正答について（令和8年3月25日公表、令和8年3月31日 科目名修正）
• 正誤表PDF：第111回薬剤師国家試験 正誤表等

確認した範囲では、問175に関する訂正・採点上の考慮は確認されていません。公開前には、厚生労働省の正誤表および採点上考慮された問題の資料を最終確認してください。

※本記事は厚生労働省・試験委員・薬剤師国家試験の出題機関とは一切無関係の個人による解説です。

問175　体内動態が線形1-コンパートメントモデルに従う薬物において、A群に示すパラメータが2倍に変動したとき、B群のパラメータが2倍になる組合せはどれか。2つ選べ。

	A群	B群
1	分布容積	単回急速静脈内投与後の血中濃度時間曲線下面積（AUC）
2	クリアランス	定速静脈内投与時の定常状態血中濃度
3	消失半減期	定速静脈内投与時に定常状態血中濃度の50%に到達するまでの時間
4	吸収速度定数	単回経口投与後の血中濃度時間曲線下面積（AUC）
5	消化管吸収率	等間隔・同投与量で繰り返し経口投与時の定常状態平均血中濃度

※問題文・表は厚生労働省公開資料から引用。詳細出典は本節冒頭参照。

✅ 正解と一般的な解説

正解：3 と 5

この結論「正解：3、5」は、厚生労働省公表の試験問題正答（第111回 問175 薬剤）と一致します。なお、確認した範囲では、問175に関する訂正・採点上の考慮は確認されていません（公開前には厚生労働省の正誤表・採点上考慮された問題の資料を最終確認してください）。

各選択肢の即時判定

選択肢	A群	B群を表す式	A群が2倍に変動したとき B群は	判定
1	Vd（分布容積）	AUC(iv単回) = Dose / CL	変化しない（式にVdが含まれない）	✗
2	CL（クリアランス）	Css = k0 / CL	1/2倍になる（反比例）	✗
3	t1/2（消失半減期）	50%到達時間 = t1/2	2倍になる（恒等的に一致）	✓
4	ka（吸収速度定数）	AUC(po単回) = F·Dose / CL	変化しない（式にkaが含まれない）	✗
5	F（消化管吸収率）	Css,avg = F·Dose / (CL·τ)	2倍になる（比例）	✓

ポイントは「B群を表す式の中で、A群のパラメータが比例で現れるか、反比例で現れるか、それともそもそも現れないか」を式の構造から見抜くことです。

📌 F の表記について（記事全体の前提）：本記事では、国試の表現に合わせて A群を「消化管吸収率 F」と呼びますが、薬物動態式（AUC = F·Dose/CL など）の F は厳密には全身循環到達率（バイオアベイラビリティ） です。本問では「消化管吸収率の変化がそのまま F の変化として反映され、他の因子（初回通過効果など）は一定」とみなして扱います。詳細は【表層】の④式の根拠の節を参照。

💡 しかし、これで終わると次に同じパターンの問題を落とすかもしれません

「公式を5つ覚えて当てはめる」だけで止まってしまうと、応用が効かないことがあります。たとえば次のような変形で、手が止まる可能性があります：

• 「分布容積が2倍になったとき、消失半減期はどうなる？」
• 「クリアランスが2倍になったとき、単回急速静脈内投与後のAUCはどうなる？」
• 「消化管吸収率が2倍になったとき、単回経口投与後のAUCはどうなる？」

公式の「式の形」だけを丸暗記していても、「なぜその式にそのパラメータが入るか／入らないか」が腑に落ちていないと、設問のパラメータの組合せが変わった瞬間に詰まります。

🔍 まずは自己診断：あなたの躓きの階層は？

薬学生の理解レベルは多様です。自分がどの階層で躓いているかを見極めることが学び直しの第一歩。以下の3つの質問に答えてみてください。

⏱ 自己診断クイズ（30秒）

Q1. 分布容積（Vd）、クリアランス（CL）、消失半減期（t1/2）、吸収速度定数（ka）、消化管吸収率（F）の 物理的な意味 を、それぞれ一言で説明できますか？
→（例：「Vd は薬物が体内でどれだけの容積に薄まったかを表す『見かけの容積』」）
→ NO なら【中層：大学薬学のパラメータ定義を整える】が出発点

Q2. 「比例関係（y = a·x）」と「反比例関係（y = a/x）」の違いを、式の形 で見分けられますか？「式に変数が含まれない（y = a）」場合、変数を動かしても y は変わらないと即答できますか？
→（例：x が分子なら比例、分母なら反比例、式に出てこなければ独立）
→ NO なら【基礎：中学数学の比例・反比例】が出発点

Q3. Q1・Q2はYESだが、たとえば「分布容積が2倍になっても、なぜ単回急速静脈内投与後のAUCは変わらないのか」を、式の構造で説明できない方
→ 【表層・大学薬学】の問題です。下の【表層】セクションで、5つの式の「分子・分母・独立」の構造を整えます。

→ 自分のレベルに応じて、次の章のどこから読むか選んでください。全員が中学から戻る必要はありません。

🧭 躓きの階層別 — どこから学び直すかを選ぶ

自己診断の結果に応じて、該当する階層から読み進めてください。すでに腑に落ちている階層はスキップしてOKです。

【表層】Q3 に該当した方 — 大学薬学の「5つの式の構造」を整える

問175の本質は、「B群を表す式の中で、A群のパラメータがどの位置に現れるか」だけで答えが決まる という点です。式を覚えるだけでなく、式の構造（分子か分母か、それとも独立か） を見抜けるようにします。

表：5選択肢の式の構造

選択肢	B群を表す式	A群のパラメータの位置	A群2倍 → B群
1	AUC(iv単回) = Dose / CL	Vd は式に現れない（独立）	変化なし
2	Css(定速静注) = k0 / CL	CL は 分母 にある（反比例）	1/2倍
3	50%到達時間 = t1/2	t1/2 は そのもの（恒等的に一致）	2倍
4	AUC(po単回) = F·Dose / CL	ka は式に現れない（独立）	変化なし
5	Css,avg(反復経口) = F·Dose / (CL·τ)	F は 分子 にある（比例）	2倍

「分子・分母・独立」の三分類で式を読む

ある関数 y = f(x) で、x を 2 倍にしたとき y がどうなるかは、x の位置で決まります：

x の位置	y の応答	数式の例
分子（比例）	y も 2 倍	y = a·x
分母（反比例）	y は 1/2 倍	y = a/x
式に現れない（独立）	y は変化なし	y = b
y そのもの（恒等）	y も 2 倍	y = x

問175は「5つの式の中で A群パラメータが上のどれに該当するか」を判別すれば、計算なしで即答できます。

5つの式の根拠 — なぜそうなるか

① AUC(iv単回) = Dose / CL — なぜVdが入らないか

AUC は C(t) を時間で積分した量（=血中濃度時間曲線下面積、全身曝露量の指標）です。一方、AUMC は t·C(t) を時間で積分した量（=「1次モーメント」 AUMC = ∫t·C(t)dt）で、AUMC は平均滞留時間 MRT = AUMC/AUC を求めるために用いる量であり、AUC そのものとは別物です（混同しないように）。線形 1-コンパートメントモデルで単回急速静脈内投与した場合、C(t) = C0·exp(−k·t) を 0〜∞ で積分すると AUC = C0 / k が得られます。

ここで C0 = Dose / Vd、k = CL / Vd を代入すると、

AUC = C0 / k = (Dose / Vd) / (CL / Vd) = Dose / CL

となり、分子と分母の Vd がきれいに相殺されます。Vd が 2 倍になれば、初期濃度 C0 は 1/2 倍に下がりますが、消失速度定数 k も 1/2 倍に小さくなる（=半減期が 2 倍に延びる）ため、両者の比 C0/k は変わりません。これが「Vd を変えても AUC(iv) は変わらない」ことの数学的な根拠です。

② Css(定速静注) = k0 / CL — なぜ反比例か

定速静注では、投与速度 k0（単位時間あたりの投与量）と消失速度（CL × C）が釣り合った濃度で定常状態に到達します。式で書くと k0 = CL × Css、これを Css について解けば Css = k0 / CL。CL が分母にある反比例関係 なので、CL を 2倍にすれば Css は 1/2 倍になります。

③ 50%到達時間 = t1/2 — なぜ恒等的に一致するか

定速静注を開始してから、定常状態 Css の x % に到達するまでの時間は、 1-コンパートメントモデルでは C(t) = Css × (1 − e^(−k·t)) で記述されます。C(t) / Css = 0.5 と置くと、1 − e^(−k·t) = 0.5 → e^(−k·t) = 0.5 → k·t = ln 2 → t = ln 2 / k = t1/2。つまり「Css の 50% に達する時刻」は、消失半減期 t1/2 と完全に一致します。t1/2 が 2 倍になれば、当然この到達時刻も 2 倍になります。

📝 補足：到達率が 1 − 1/2ⁿ の形（50%、75%、87.5%、93.75% …）であれば、到達時間はそれぞれ 1·t1/2、2·t1/2、3·t1/2、4·t1/2 … と t1/2 の整数倍で書けます。一方、90% 到達時間は約 3.32·t1/2 となり、一般には整数倍とは限りません。ただし、到達時間 = (定数) × t1/2 という比例関係は任意の到達率で成立するため、「t1/2 が 2 倍 → 到達時間も 2 倍」はどんな到達率でも成り立ちます。

④ AUC(po単回) = F·Dose / CL — なぜkaが入らないか

経口投与では、投与量 Dose のうち F・Dose が循環血液中に到達します（F の意味については下の補足参照）。線形条件下では、この F·Dose の全身曝露量を CL で除した値が AUC になるため、AUC = F·Dose / CL。吸収速度定数 ka は 最高血中濃度 Cmax や到達時間 tmax を変えますが、線形条件かつ F が一定であれば AUC には影響しません。吸収が速くなれば Cmax は高く tmax は短く、吸収が遅くなれば Cmax は低く tmax は長くなりますが、両者の血中濃度−時間曲線下の総面積（=全身曝露量）は変わらない、というのが線形 PK の帰結です。

📝 F の解釈に関する補足：本問では国試の表現に従い、A群を「消化管吸収率」としています。一方、薬物動態式 AUC = F·Dose / CL における F は、厳密には全身循環到達率（バイオアベイラビリティ）であり、消化管吸収率 Fa × 消化管壁の初回通過を生き残る割合 Fg × 肝臓の初回通過を生き残る割合 Fh の積で決まります（F = Fa × Fg × Fh）。本問では「消化管吸収率（Fa）の変化がそのまま F 全体の変化として反映され、Fg・Fh など他の因子は一定」とみなして判定します。

⑤ Css,avg(反復経口) = F·Dose / (CL·τ) — なぜFが比例か

等間隔 τ、同投与量 Dose で繰り返し経口投与すると、定常状態の 平均 血中濃度 Css,avg は 1 投与間隔の AUC を τ で割った値 に等しくなります。1 回経口投与の AUC は F·Dose / CL なので、Css,avg = F·Dose / (CL·τ)。F は分子 にあるので、F を 2倍にすれば Css,avg も 2倍になります（比例関係）。

→ もしここで「式の根拠を一つひとつ追えるのに、なぜ Vd が AUC に影響しないかが直感で納得できない」という感覚が残れば、下の【中層】へ。

【中層】Q1 または Q2 で「NO」だった方 — 大学薬学のパラメータ定義と中学・高校数学の土台を整える

📌 自己診断との対応

• Q1（パラメータの物理的意味）で NO → 主に 大学薬学のパラメータ定義（下の「大学薬学：5つのパラメータの定義を一言で」）が出発点
• Q2（比例・反比例・独立の判別）で NO → 主に 中学数学の比例・反比例（下の「中1〜高校数学の土台」）が出発点
• 両方 NO の方は、まず Q2（中学数学）の土台から整え、次に Q1（パラメータ定義）に進むのが効率的

中1〜高校数学の土台：比例・反比例・独立を式の形で即時に見分ける

中学1年で学んだ比例 y = a·x と反比例 y = a/x、そして「x に依存しない定数 y = b」。これら3パターンは、問175の5選択肢を判定する根本ツール です。中学で学ぶ概念ですが、薬学で式を扱うときに「分子か分母か独立か」を瞬時に判別する感覚は、高校数学Ⅰ・Ⅱで関数を扱う訓練を経て磨かれます。

関係	x が 2倍になったとき y は	国試で出てくる場面
比例 y = a·x	2倍	Css,avg = F·Dose/(CL·τ) における F
反比例 y = a/x	1/2倍	Css = k0/CL における CL
独立 y = b	不変	AUC(iv) = Dose/CL における Vd
恒等 y = x	2倍	50%到達時間 = t1/2 における t1/2

「式の形」を見るだけで、その式が 比例関係なのか反比例関係なのか独立なのか を即座に判別できる感覚を、高校数学Ⅰ・Ⅱの関数の学習を土台にして磨いておくと、薬物動態学の式を扱うときに迷いません。

高校数学Ⅱの指数関数・自然対数を土台に：半減期の理論的根拠

50%到達時間 = t1/2 という関係の導出には、自然対数 ln 2 ≈ 0.693 が登場します。定速静注での濃度の立ち上がりは、

C(t) = Css × (1 − e^(−k·t))

で記述され、C(t) / Css = 0.5 と置くと、

1 − e^(−k·t) = 0.5 → e^(−k·t) = 0.5 → k·t = ln 2 → t = ln 2 / k = t1/2

つまり「50% 到達時間」と「半減期」が同じ式で表されることが、自然対数の性質から導かれます。e（ネイピア数）は高校数学Ⅲで本格的に学びますが、薬剤師国試の薬物動態では「ln 2 ≈ 0.693」「ln 10 ≈ 2.303」の2つを覚えておけば9割の計算が片付きます。

大学薬学：5つのパラメータの定義を一言で

パラメータ	一言での定義	単位の例
Vd（分布容積）	体内薬物量を血中濃度で割った「見かけの容積」	L
CL（クリアランス）	単位時間あたりに薬物が完全に除去されたとみなせる血液または血漿の見かけの容積	L/h
t1/2（消失半減期）	血中濃度が半分になるまでの時間（一次消失下）	h
ka（吸収速度定数）	吸収部位から血液への移行速度を表す一次速度定数	1/h
F（全身循環到達率。本問では消化管吸収率の変化が F に反映されるとみなす）	経口投与量のうち、循環血液中に到達する割合（0〜1）	無次元

これらの定義を「容積か速度か割合か」で分類できる感覚があると、式の中で各パラメータがどう振る舞うかを見抜きやすくなります。

→ ここまで読んで「式の構造は分かったが、なぜ Vd が単回急速静脈内投与後の AUC に影響しないか直感で納得できない」という感覚が残れば、下の【基礎】へ。

【基礎】Q2 で「NO」だった方 — 中学理科・数学の感覚を土台に整える

中学2年理科：「量は勝手に増えも減りもしない」感覚を土台にする

中学2年理科の「質量保存の法則」は、化学変化前後の質量保存を扱う単元です。本問の薬物動態学にそのまま使うわけではありませんが、「全身に入った薬物の総量（Dose）と、全身から出ていく総量が等しい」という質量保存の感覚を、ここで身につけることが重要です。AUC(iv単回) = Dose / CL が Vd に依存しないのは、Vd が変わると初期濃度 C0 = Dose/Vd と消失速度定数 k = CL/Vd が同じ倍率で変化し、両者の比 C0/k で相殺されるためです（数学的詳細は【表層】を参照）。質量保存の感覚は、その結果を「直感的に納得する」ための土台になります。

浴槽の例えで5選択肢を一気に整理する

蛇口から流入速度 k0（L/分）で水が入り、排水口から速度 v_out = k × A（A: 体内水量）で出る浴槽を想像してください。

想定	例えにすると	5選択肢のどれ？
Vd（浴槽の太さ）が2倍	同じ水量でも水位は低くなる。一方、排水能力 CL が同じなら水位の下がり方も遅くなる（半減期が延びる）ため、「水位×時間」の面積は結果として変わらない（数式では AUC = (Dose/Vd)/(CL/Vd) = Dose/CL）	① AUC(iv) は Vd に依存しない
CL（排水管の能力）が2倍	排水が速くなって定常状態の水位が低くなる	② Css は CL に反比例
t1/2 が2倍（=排水がゆっくり）	水位が定常の半分まで上がるのに2倍時間がかかる	③ 50%到達時間 = t1/2
ka が2倍（=吸収が速い）	早く満たされるが、最終的に浴槽へ届く水の総量（F·Dose）は同じ	④ AUC(po) は ka に依存しない
F が2倍（=最終的に浴槽へ届く水の割合が2倍）	1 投与あたり浴槽に届く水量が 2倍、定常の平均水位も 2倍	⑤ Css,avg は F に比例

中学1年数学：比例関係と単位換算

• 比例 y = a·x：x を 2倍にすれば y も 2倍
• 反比例 y = a/x：x を 2倍にすれば y は 1/2倍
• 濃度 × 体積 = 量：これは中学1年で学ぶ比例の応用。単位を素直に掛け算するだけで質量が出ます

中学2年数学：一次関数と「変化の割合」

「投与速度 × 時間 = 投与総量」「消失速度 × 時間 = 消失総量」。両者が釣り合った瞬間に濃度が動かなくなる — これが定常状態。中学2年の一次関数（傾きと切片）の感覚が、定常状態の理解の土台になります。

すでにこの内容が腑に落ちている読者は、上の階層に戻って自分の躓き箇所を探してください。

🏛 知識の階層構造で整理する

このピラミッドは「読者がどの階層まで降りる必要があるか」を可視化したマップです。自分の現在地によって出発点は異なります：

• 表層だけで対応できる方 → 上の【表層】を読んで、5つの式の「分子・分母・独立」の構造を整理する
• 中層まで戻る必要がある方 → 中学数学で学ぶ比例・反比例を土台にし、高校数学Ⅱの指数関数・対数関数に接続してから【表層】へ
• 基礎まで戻る必要がある方 → 中学理科・数学で身につける「量の感覚」「比例・反比例」の判別から積み直して【中層】→【表層】へ

全員が必ずしも最下層から始める必要はありません。

🎯 学び直しロードマップ — あなたの現在地に応じた経路

自己診断の結果に応じて、開始 Step を選択してください。所要時間は初学者の目安。

• 🟢 表層レベルの方（Q1・Q2 YES、Q3 に該当）→ Step 4 から開始
• 🟡 中層レベルの方（Q1 で NO、Q2 で YES）→ Step 2 から開始
• 🔴 基礎レベルの方（Q2 で NO）→ Step 1 から開始

1. Step 1：中学数学の比例・反比例の即時判別感覚を取り戻す（目安30分）
   • ポイント：y = a·x（比例）と y = a/x（反比例）を式の形だけで見分ける
   • ポイント：「式に変数が現れない」場合は、変数を動かしても結果は変わらないという独立性の感覚
2. Step 2：中学数学の比例・反比例を土台に、高校数学Ⅱの指数関数・対数関数へ接続する（目安1時間）
   • ポイント：y = k/x のグラフ（中学）で「分母を2倍にすると値が半分」を視覚的にイメージできるようにする
   • ポイント：指数関数・対数関数（高校数学Ⅱ）で半減期の式 t1/2 = ln 2 / k の意味を理解する
   • ポイント：ln 2 ≈ 0.693、ln 10 ≈ 2.303 の2つを記憶
3. Step 3：大学薬学の5つのパラメータ（Vd, CL, t1/2, ka, F）の物理的意味を一言で言えるようにする（目安1時間）
   • ポイント：「容積か速度か割合か」で分類する
   • ポイント：各パラメータの単位（L、L/h、h、1/h、無次元）を確認
4. Step 4：大学薬学の5つの式（AUC, Css, 50%到達時間, Css,avg）の構造を覚える（目安2時間）
   • ポイント：A群パラメータが「分子・分母・独立・恒等」のどれにあたるかで答えが即座に出る
   • ポイント：「吸収速度 ka が変わっても、全身循環へ到達する総量 F·Dose と CL が同じなら AUC は変わらない」という線形 PK の帰結を腑に落とす

📚 関連する国試問題

• 第111回 問174：急速静注 + 定速静注の維持投与（Css = k0 / CL を式の意味として理解する）
• 第111回 問173：CLtot = CLr + CLnr の分解視点（クリアランスを分解して考える）
• 第111回 問46：薬物動態の基本パラメータ（V, CL, t1/2 の関係を計算で確認）

※ 関連問題は、本ブログ「国試 Why?」シリーズで順次解説中です。

📝 まとめ — 元教授からの一言

問175は、表面的には「5つの式を覚えていれば解ける」暗記問題に見えます。しかし本当に問われているのは、「式の構造の中で、各パラメータがどの位置にあるか（分子か分母か独立か）を見抜けるか」という一点です。

• 「公式を5つ覚えている」だけでは、パラメータの組合せが変わった瞬間に詰まる
• 「式の中で A群パラメータがどの位置にあるかで答えが決まる」と腑に落ちているなら、計算なしで即座に正解（3、5）が出る

躓きの階層は読者によって異なります。「式は知っているが Vd が AUC に影響しない理由が直感で納得できない」のと「比例・反比例の判別がそもそもあやふや」なのは別の躓きであり、必要な学び直しも違います。自分の現在地を見極めて、そこから上に積み上げていくこと。それが「次に同じパターンの問題を落とさない」唯一の道です。

下のシミュレーターでは、5つの選択肢それぞれについて A群パラメータを 1倍〜3倍に動かし、B群がどう応答するかを 比例・反比例・独立 の3パターンで視覚的に確認できます。A群を 2倍にしたとき、B群がちょうど 2倍になるのは選択肢③と⑤だけであることを、ぜひ自分の目で確かめてください。

🧪 線形PKパラメータ2倍連動シミュレーター — 問175 全選択肢統合

本記事で扱う5選択肢すべての A群2倍 → B群の応答を体感できる統合シミュレーターです。

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薬学博士 有馬 英俊
元 熊本大学教授／元 第一薬科大学 教授／『最新製剤学[第4版]』編者／薬剤師

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免責事項

本記事は、薬剤師国家試験問題の学習目的の解説として作成されたものです。記事の内容は、公開時点で入手可能な厚生労働省公表資料・文献・情報に基づいていますが、追加の正誤表・採点上の考慮事項の発表により、情報が更新される場合があります。記事に記載された解説・推論・計算結果について、筆者および本ブログは一切の責任を負わないものとします。実際の国試対策・臨床応用にあたっては、必ず最新の厚生労働省資料・教科書・薬剤師指導者の助言を確認してください。

本記事は生成AIを活用して作成しています。内容については十分に精査しておりますが、誤りが含まれる可能性があります。お気づきの点がございましたら、コメントにてご指摘いただけますと幸いです。